Heston modell

Vad är Heston-modellen?

Heston-modellen, uppkallad efter Steve Heston, är en typ av stokastisk volatilitetsmodell som används för att prissätta europeiska optioner.

Förstå Heston-modellen

Heston-modellen, utvecklad av docent Steven Heston 1993, är en optionsprismodell som kan användas för prissättning av optioner på olika värdepapper. Den är jämförbar med den mer populära Black-Scholes alternativprismodell.

Sammantaget används optionsprismodeller av avancerade investerare för att uppskatta och mäta priset på ett visst alternativ, som handlas på ett underliggande värdepapper på den finansiella marknaden. Optioner, precis som deras underliggande säkerhet, kommer att ha priser som ändras under hela handelsdagen. Optionsprissättningsmodeller försöker analysera och integrera de variabler som orsakar fluktuationer i optionspriserna för att identifiera det bästa optionspriset för investeringar.

Som en stokastisk volatilitetsmodell använder Heston-modellen statistiska metoder för att beräkna och prognostisera optionsprissättning med antagandet att volatiliteten är godtycklig. Antagandet att volatiliteten är godtycklig, snarare än konstant, är nyckelfaktorn som gör stokastiska volatilitetsmodeller unika. Andra typer av stokastiska volatilitetsmodeller inkluderar SABR-modellen, Chen-modellen och GARCH- modellen.

Nyckelskillnader

Heston-modellen har egenskaper som skiljer den från andra stokastiska volatilitetsmodeller, nämligen:

Det tar hänsyn till en möjlig korrelation mellan en akties pris och dess volatilitet.

– Det förmedlar volatilitet som att återgå till medelvärdet.

– Det ger en lösning i sluten form, vilket innebär att svaret härleds från en accepterad uppsättning matematiska operationer.

– Det kräver inte att aktiekurserna följer en lognormal sannolikhetsfördelning.

Heston-modellen är också en typ av leendemodell med volatilitet. "Smile" syftar på volatilitetsleendet, en grafisk representation av flera alternativ med identiska utgångsdatum som visar ökande volatilitet i takt med att alternativen blir mer in-the-money (ITM) eller out-of- the-money (OTM). Leendemodellens namn kommer från den konkava formen på grafen, som liknar ett leende.

Heston Model Methodology

Heston-modellen är en sluten lösning för prissättningsalternativ som försöker övervinna några av de brister som presenteras i Black-Scholes optionsprismodell. Heston-modellen är ett verktyg för avancerade investerare.

Beräkningen är som följer:

$\begin &dS_t = rS_tdt + \sqrt S_tdW_{1t} \ &dV_t = k ( \theta - V_t ) dt+ \sigma \sqrt dW_{2t} \ &\textbf{där:} \ &S_t = \text{tillgångspris vid tidpunkten } t \ &r = \text{riskfri ränta -- teoretisk ränta på en} \ &\text{tillgång utan risk} \ &\sqrt = \text{ volatilitet (standardavvikelse) för tillgångspriset} \ &\sigma = \text{volatilitet för } \sqrt \ &\theta = \text{långsiktig prisvariation} \ &k = \text{återgångshastighet till } \theta \ &dt = \text{obestämt litet positivt tidssteg} \ &W_{1t} = \text{Brownisk rörelse av tillgångspriset} \ &W_ {2t} = \text{Brownisk rörelse av tillgångens prisvariation} \ \end$

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3,512,-1067

10 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/> St dW 1t d Vt=k(θ−V t ) span>dt+σVt

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3,512,-1067

10 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>dW2tdär: S t=tillgångspris vid tidpunkten tr= riskfri ränta – teoretisk ränta på en tillgång utan riskVt

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3,512,-1067

10 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/>=volatilitet (standardavvikelse) för tillgångsprisetσ=volatilitet för den Vt < svg width='400e m' height='1.28em' viewBox='0 0 400000 1296' preserveAspectRatio='xMinYMin slice'><path d='M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119

c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120

c340,-704,7,510,7,-1060,3,512,-1067

10 -0

c4.7,-7.3,11,-11,19,-11

H40000v40H1012.3

s-271,3,567,-271,3,567c-38,7,80,7,-84,175,-136,283c-52,108,-89,167,185,3,-111,5,232

c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1

s-109,-253,-109,-253c-72,7,-168,-109,3,-252,-110,-252c-10,7,8,-22,16,7,-34,26

c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z

M1001 80h400000v40h-400000z'/> >θ=långsiktig prisvariationk=~~hastighet för återgång till θ~~dt=oändligt litet positivt tidssteg W1t=brunisk rörelse av tillgångsprisetW 2t=Brownisk rörelse av tillgångens prisvariation span class="vlist" style="height:9.821079999999998em;">

Heston Model vs. Black-Scholes

Black-Scholes-modellen för prissättning av optioner introducerades på 1970-talet och fungerade som en av de första modellerna för att hjälpa investerare att härleda ett pris associerat med en option på ett värdepapper. I allmänhet bidrog det till att främja optionsinvesteringar eftersom det skapade en modell för att analysera priset på optioner på olika värdepapper.

Både Black-Scholes- och Heston-modellen är baserade på underliggande beräkningar som kan kodas och programmeras genom avancerade Excel eller andra kvantitativa system. Black-Scholes köpoptionsformel beräknas genom att multiplicera aktiekursen med den kumulativa normala normala sannolikhetsfördelningsfunktionen.

Därefter subtraheras nettonuvärdet (NPV) av lösenpriset multiplicerat med den kumulativa standardnormalfördelningen från det resulterande värdet av den tidigare beräkningen.

I matematisk notation,

Ring = S * N(d₁) – K_e^{(-r * T) * N(d}₂⁾

Omvänt kan värdet av en säljoption beräknas med hjälp av formeln:

Put = K_e^{(-r * T) * N(-d2)} – S * N(-d₁)

I båda formlerna är S aktiekursen, K är lösenpriset, r är den riskfria räntan och T är tiden till förfall.

Formeln för d₁ är:

(ln(S/K) + (r + (Annualized Volatility)²/2) * T)/(Annualized Volatility * (T^0,5))

Formeln för d₂ är:

d1 – (Annualized Volatility) * (T^0,5)

Särskilda överväganden

Heston-modellen är anmärkningsvärd eftersom den försöker sörja för en av de viktigaste begränsningarna för Black-Scholes-modellen som håller volatiliteten konstant. Användningen av stokastiska variabler i Heston-modellen ger uppfattningen att volatiliteten inte är konstant utan godtycklig.

Både den grundläggande Black-Scholes-modellen och Heston-modellen ger fortfarande bara uppskattningar av optionsprissättningen för en europeisk option, som är en option som endast kan utnyttjas på dess utgångsdatum. Olika forskning och modeller har studerats för prissättning av amerikanska alternativ genom både Black-Scholes och Heston-modellen. Dessa variationer ger uppskattningar för optioner som kan utnyttjas på vilket datum som helst fram till förfallodagen, vilket är fallet för amerikanska optioner.

Höjdpunkter

– Det betyder att modellen utgår från att volatiliteten är godtycklig, till skillnad från Black-Scholes-modellen som håller volatiliteten konstant.

Heston-modellen är en optionsprismodell som använder stokastisk volatilitet.

– Heston-modellen är en typ av volatilitetssmile-modell, som är en grafisk representation av flera alternativ med identiska utgångsdatum som visar ökande volatilitet när alternativen blir mer ITM eller OTM.