协方差

投资 Portfolio Management

##什么是协方差？

资产回报之间的方向关系。正协方差意味着资产收益一起移动，而负协方差意味着它们反向移动。

协方差是通过分析回报意外（与预期回报的标准差）或通过将两个随机变量之间的相关性乘以每个变量的标准差来计算的。

了解协方差

协方差评估两个随机变量的平均值如何一起移动。如果当股票 B 的收益上涨时股票 A 的收益上涨，并且当每只股票的收益下降时发现相同的关系，则称这些股票具有正协方差。在金融领域，计算协方差以帮助分散证券持有量。

协方差公式

当分析师有一组数据、一对 x 和 y 值时，可以使用从被分析数据中提取的五个变量来计算协方差。

在哪里：

x_i = 数据集中给定的 x 值
x_m = x 值的平均值
y_i = x_i对应的数据集中的y值
y_m = y 值的平均值或平均值

特别注意事项

协方差在金融和现代投资组合理论中有重要的应用。例如，在用于计算资产预期收益的资本资产定价模型 ( CAPM ) 中，证券与市场之间的协方差用于模型的关键变量之一的公式中，即beta 。在 CAPM 中，贝塔衡量证券与整个市场相比的波动性或系统风险；这是一种实用的度量，它利用协方差来衡量投资者对一种证券的特定风险敞口。

同时，投资组合理论使用协方差通过基于协方差的多样化来防止波动，从而在统计上降低投资组合的整体风险。

拥有具有相似协方差的回报的金融资产并不能提供很大的多样化；因此，多元化的投资组合可能包含具有不同协方差的金融资产组合。

协方差类型

协方差方程用于确定两个变量之间关系的方向——换句话说，它们是否倾向于沿相同或相反的方向移动。这种关系由协方差值的符号（正或负）决定。

正协方差

两个变量之间的正协方差表明这些变量往往同时更高或更低。换句话说，变量 x 和 y 之间的正协方差表明 x 高于平均值同时 y 高于平均值，反之亦然。在二维图表上绘制时，数据点将倾向于向上倾斜。

负协方差

当计算出的协方差小于零时，这表明两个变量之间存在反比关系。换句话说，低于平均值的 x 值往往与大于平均值的 y 配对，反之亦然。

协方差与方差

协方差与方差有关，方差是数据集中点分布的统计量度。方差和协方差都衡量数据点如何围绕计算的平均值分布。然而，方差测量数据沿单个轴的分布，而协方差检查两个变量之间的方向关系。

在金融环境中，协方差用于检查不同投资之间的表现。正协方差表示两种资产往往同时表现良好，而负协方差表示它们倾向于朝相反的方向移动。大多数投资者寻求具有负协方差的资产以分散他们的持股。

协方差与相关性

协方差也与相关性不同，相关性是另一种通常用于衡量两个变量之间关系的统计指标。协方差衡量两个变量之间关系的方向，而相关性衡量该关系的强度。这通常通过相关系数来表示，相关系数的范围可以从 -1 到 +1。

虽然协方差确实衡量了两种资产之间的方向性关系，但并未显示两种资产之间关系的强度；相关系数是这种强度的更合适的指标。

如果相关系数具有接近+1（正相关）或-1（负相关）的值，则认为相关性强。接近于零的系数表明两个变量之间的关系很弱。

协方差计算示例

假设一家公司的分析师有一个五个季度的数据集，该数据集以百分比 (x) 显示季度国内生产总值 ( GDP ) 增长以及以百分比 (y) 显示公司新产品线增长。数据集可能如下所示：

Q1：x = 2，y = 10
Q2：x = 3，y = 14
Q3：x = 2.7，y = 12
Q4：x = 3.2，y = 15
Q5：x = 4.1，y = 20

平均 x 值等于 3，平均 y 值等于 14.2。为了计算协方差，x_i 值减去平均 x 值乘以 y_i 值减去平均 y 值的乘积之和将除以 (n-1)，如下所示：

Cov(x,y) = ((2 - 3) x (10 - 14.2) + (3 - 3) x (14 - 14.2) + ... (4.1 - 3) x (20 - 14.2)) / 4 = (4.2 + 0 + 0.66 + 0.16 + 6.38) / 4 = 2.85

在这里计算出正协方差后，分析师可以说公司新产品线的增长与季度 GDP 增长呈正相关。

底线

协方差是比较多个变量之间关系的重要统计指标。在投资中，协方差用于识别有助于分散投资组合的资产。

＃＃强调

协方差是现代投资组合理论中的一个重要工具，用于确定将哪些证券放入投资组合。
当两只股票倾向于一起移动时，它们被视为具有正协方差；当它们反向移动时，协方差为负。
通过将具有负协方差的资产配对，可以降低投资组合中的风险和波动性。
协方差是一种统计工具，用于确定两个随机变量的运动之间的关系。
协方差与相关系数不同，相关系数是衡量相关关系强度的指标。

＃＃常问问题

什么是协方差与方差？

协方差和方差都用于衡量数据集中点的分布。但是，方差通常用于只有一个变量的数据集中，并表示这些数据点在平均值周围的聚集程度。协方差衡量两个变量之间关系的方向。正协方差意味着两个变量同时趋于高或低。负协方差意味着当一个变量很高时，另一个变量往往很低。

如何计算协方差？

对于具有两个变量 x 和 y 的一组 n 数据点，通过取每个 x 和 y 变量及其变量之间的差异来测量协方差各自的手段。然后将这些差异相乘，并在所有数据点上取平均值。在数学符号中，这表示为：

0 的协方差是什么意思？

协方差为零表示被测变量之间没有明确的方向关系。换言之，较高的 x 值与较高或较低的 y 值配对的可能性相同。

协方差和相关性有什么区别？

协方差衡量两个变量之间关系的方向，而相关性衡量该关系的强度。当变量向同一方向移动时，相关性和协方差都是正的，而当它们向相反方向移动时，相关性和协方差都是负的。但是，相关系数必须始终介于 -1 和 +1 之间，极值表示强关系。