Kowariancja

Co to jest kowariancja?

Kowariancja mierzy kierunkową relację między zwrotami z dwóch aktywów. Dodatnia kowariancja oznacza, że zwroty z aktywów poruszają się razem, podczas gdy ujemna kowariancja oznacza, że poruszają się odwrotnie.

Kowariancję oblicza się, analizując niespodzianki przy powrocie ( odchylenia standardowe od oczekiwanego zwrotu) lub mnożąc korelację między dwiema zmiennymi losowymi przez odchylenie standardowe każdej zmiennej.

Zrozumienie kowariancji

Kowariancja ocenia, w jaki sposób średnie wartości dwóch zmiennych losowych poruszają się razem. Jeśli zwrot akcji A będzie wyższy, gdy zwrot akcji B będzie wyższy i ta sama zależność zostanie stwierdzona, gdy zwrot z każdej akcji spadnie, wtedy mówi się, że akcje te mają dodatnią kowariancję. W finansach oblicza się kowariancje, aby pomóc zdywersyfikować portfele papierów wartościowych.

Formuła kowariancji

Gdy analityk dysponuje zestawem danych, parą wartości x i y, kowariancję można obliczyć przy użyciu pięciu zmiennych pobranych z analizowanych danych.

Gdzie:

x_i = dana wartość x w zbiorze danych
x_m = średnia lub średnia wartości x
y_i = wartość y w zestawie danych, która odpowiada x_i
y_m = średnia lub średnia wartości y

Uwagi specjalne

Kowariancje mają istotne zastosowania w finansach i nowoczesnej teorii portfela. Na przykład w modelu wyceny aktywów kapitałowych ( CAPM ), który służy do obliczania oczekiwanego zwrotu z aktywów, kowariancja między papierem wartościowym a rynkiem jest używana we wzorze na jedną z kluczowych zmiennych modelu, beta. W CAPM, beta mierzy zmienność lub systematyczne ryzyko papieru wartościowego w porównaniu z rynkiem jako całością; jest to praktyczna miara, która czerpie z kowariancji, aby zmierzyć ekspozycję inwestora na ryzyko specyficzne dla jednego papieru wartościowego.

Tymczasem teoria portfela wykorzystuje kowariancje do statystycznego zmniejszenia ogólnego ryzyka portfela poprzez ochronę przed zmiennością poprzez dywersyfikację opartą na kowariancji.

Posiadanie aktywów finansowych o zwrotach z podobnymi kowariancjami nie zapewnia zbyt dużej dywersyfikacji; w związku z tym zdywersyfikowany portfel prawdopodobnie zawierałby mieszankę aktywów finansowych o różnych kowariancjach.

Rodzaje kowariancji

Równanie kowariancji służy do określenia kierunku relacji między dwiema zmiennymi – innymi słowy, czy mają tendencję do poruszania się w tym samym lub przeciwnym kierunku. Zależność tę określa znak (dodatni lub ujemny) wartości kowariancji.

Dodatnia kowariancja

Dodatnia kowariancja między dwiema zmiennymi wskazuje, że te zmienne mają tendencję do bycia jednocześnie wyższymi lub niższymi. Innymi słowy, dodatnia kowariancja między zmiennymi x i y wskazuje, że x jest wyższe od średniej w tym samym czasie, kiedy y jest wyższe od średniej i odwrotnie. Na wykresie dwuwymiarowym punkty danych będą miały tendencję do nachylania się w górę.

Ujemna kowariancja

Gdy obliczona kowariancja jest mniejsza od zera, oznacza to, że te dwie zmienne mają odwrotną zależność. Innymi słowy, wartość x niższa od średniej jest zwykle łączona z wartością y większą od średniej i na odwrót.

Kowariancja a wariancja

Kowariancja jest związana z wariancją,. statystyczną miarą rozrzutu punktów w zbiorze danych. Zarówno wariancja, jak i kowariancja mierzą rozkład punktów danych wokół obliczonej średniej. Jednak wariancja mierzy rozproszenie danych wzdłuż pojedynczej osi, podczas gdy kowariancja bada związek kierunkowy między dwiema zmiennymi.

W kontekście finansowym kowariancję stosuje się do zbadania, jak różne inwestycje radzą sobie ze sobą. Dodatnia kowariancja wskazuje, że dwa zasoby mają tendencję do osiągania dobrych wyników w tym samym czasie, a ujemna kowariancja wskazuje, że mają tendencję do poruszania się w przeciwnych kierunkach. Większość inwestorów poszukuje aktywów z ujemną kowariancją w celu dywersyfikacji swoich aktywów .

Kowariancja a korelacja

Kowariancja różni się również od korelacji,. innej metryki statystycznej często używanej do pomiaru relacji między dwiema zmiennymi. Podczas gdy kowariancja mierzy kierunek relacji między dwiema zmiennymi, korelacja mierzy siłę tej relacji. Zwykle wyraża się to współczynnikiem korelacji, który może wynosić od -1 do +1.

Chociaż kowariancja mierzy kierunkową relację między dwoma aktywami, nie pokazuje siły relacji między tymi dwoma aktywami; współczynnik korelacji jest bardziej odpowiednim wskaźnikiem tej siły.

Korelację uważa się za silną, jeśli współczynnik korelacji ma wartość bliską +1 (korelacja dodatnia) lub -1 (korelacja ujemna). Współczynnik bliski zeru wskazuje, że istnieje tylko słaba zależność między tymi dwiema zmiennymi.

Przykład obliczenia kowariancji

Załóżmy, że analityk w firmie dysponuje zestawem danych z pięciu kwartałów, które pokazują procentowy wzrost kwartalnego produktu krajowego brutto ( PKB ) (x) oraz wzrost nowej linii produktów firmy w procentach (y). Zestaw danych może wyglądać tak:

P1: x = 2, y = 10
P2: x = 3, y = 14
Q3: x = 2,7, y = 12
P4: x = 3,2, y = 15
Q5: x = 4,1, y = 20

Średnia wartość x wynosi 3, a średnia wartość y wynosi 14,2. Aby obliczyć kowariancję, suma iloczynów wartości x_i minus średnia wartość x, pomnożona przez wartości y_i minus średnie wartości y, należy podzielić przez (n-1), w następujący sposób:

Cov(x,y) = ((2 - 3) x (10 - 14,2) + (3 - 3) x (14 - 14,2) + ... (4,1 - 3) x (20 - 14,2)) / 4 = (4,2 + 0 + 0,66 + 0,16 + 6,38) / 4 = 2,85

Obliczając tu dodatnią kowariancję, analityk może stwierdzić, że wzrost nowej linii produktowej firmy ma dodatni związek z kwartalnym wzrostem PKB.

Podsumowanie

Kowariancja jest ważnym wskaźnikiem statystycznym do porównywania relacji między wieloma zmiennymi. W inwestowaniu kowariancja służy do identyfikacji aktywów, które mogą pomóc zdywersyfikować portfel.

Przegląd najważniejszych wydarzeń

Kowariancja jest ważnym narzędziem w nowoczesnej teorii portfela, używanym do ustalenia, jakie papiery wartościowe umieścić w portfelu.
Kiedy dwie akcje mają tendencję do poruszania się razem, postrzega się je jako posiadające dodatnią kowariancję; kiedy poruszają się odwrotnie, kowariancja jest ujemna.
Ryzyko i zmienność można zmniejszyć w portfelu, łącząc w pary aktywa, które mają ujemną kowariancję.
Kowariancja to narzędzie statystyczne, które służy do określenia związku między ruchami dwóch zmiennych losowych.
Kowariancja różni się od współczynnika korelacji, będącego miarą siły związku korelacyjnego.

FAQ

Co to jest kowariancja a wariancja?

Zarówno kowariancja, jak i wariancja służą do pomiaru rozkładu punktów w zbiorze danych. Jednak wariancja jest zwykle używana w zestawach danych zawierających tylko jedną zmienną i wskazuje, jak blisko te punkty danych są skupione wokół średniej. Kowariancja mierzy kierunek relacji między dwiema zmiennymi. Dodatnia kowariancja oznacza, że obie zmienne mają tendencję do bycia jednocześnie na wysokim lub niskim poziomie. Ujemna kowariancja oznacza, że gdy jedna zmienna jest wysoka, druga ma tendencję do bycia niską.

Jak obliczana jest kowariancja?

Dla zbioru n punktów danych z dwiema zmiennymi x i y, kowariancję mierzy się, biorąc różnicę między każdą zmienną x i y a ich odpowiednie środki. Różnice te są następnie mnożone razem i uśredniane dla wszystkich punktów danych. W notacji matematycznej wyraża się to jako:

Co oznacza kowariancja 0?

Kowariancja zerowa wskazuje, że nie ma wyraźnej zależności kierunkowej między mierzonymi zmiennymi. Innymi słowy, wysoka wartość x z równym prawdopodobieństwem zostanie połączona z wysoką lub niską wartością y.

Jaka jest różnica między kowariancją a korelacją?

Kowariancja mierzy kierunek relacji między dwiema zmiennymi, podczas gdy korelacja mierzy siłę tej relacji. Zarówno korelacja, jak i kowariancja są dodatnie, gdy zmienne poruszają się w tym samym kierunku, i ujemne, gdy poruszają się w przeciwnych kierunkach. Jednak współczynnik korelacji musi zawsze wynosić od -1 do +1, przy czym skrajne wartości wskazują na silną zależność.