Covariance

Qu'est-ce que la covariance ?

La covariance mesure la relation directionnelle entre les rendements de deux actifs. Une covariance positive signifie que les rendements des actifs évoluent ensemble, tandis qu'une covariance négative signifie qu'ils évoluent en sens inverse.

La covariance est calculée en analysant les surprises au retour ( écarts-types par rapport au rendement attendu) ou en multipliant la corrélation entre les deux variables aléatoires par l'écart-type de chaque variable.

Comprendre la covariance

La covariance évalue comment les valeurs moyennes de deux variables aléatoires évoluent ensemble. Si le rendement de l'action A augmente chaque fois que le rendement de l'action B augmente et que la même relation est trouvée lorsque le rendement de chaque action diminue, on dit alors que ces actions ont une covariance positive. En finance, les covariances sont calculées pour aider à diversifier les portefeuilles de titres.

Formule de covariance

Lorsqu'un analyste dispose d'un ensemble de données, une paire de valeurs x et y, la covariance peut être calculée à l'aide de cinq variables tirées des données analysées.

Où:

x_i = une valeur x donnée dans l'ensemble de données
x_m = la moyenne, ou moyenne, des valeurs x
y_i = la valeur y dans l'ensemble de données qui correspond à x_i
y_m = la moyenne, ou moyenne, des valeurs y

Considérations particulières

Les covariances ont des applications importantes en finance et en théorie moderne du portefeuille. Par exemple, dans le modèle d'évaluation des actifs financiers ( CAPM ), qui est utilisé pour calculer le rendement attendu d'un actif, la covariance entre un titre et le marché est utilisée dans la formule de l'une des variables clés du modèle, bêta. Dans le CAPM, le bêta mesure la volatilité, ou le risque systématique, d'un titre par rapport au marché dans son ensemble ; c'est une mesure pratique qui s'appuie sur la covariance pour évaluer l'exposition au risque d'un investisseur spécifique à un titre.

Pendant ce temps, la théorie du portefeuille utilise les covariances pour réduire statistiquement le risque global d'un portefeuille en le protégeant contre la volatilité grâce à une diversification fondée sur la covariance.

Posséder des actifs financiers dont les rendements ont des covariances similaires n'offre pas une grande diversification ; par conséquent, un portefeuille diversifié contiendrait probablement une combinaison d'actifs financiers qui ont des covariances variables.

Types de covariance

L'équation de covariance est utilisée pour déterminer la direction de la relation entre deux variables - en d'autres termes, si elles ont tendance à se déplacer dans la même direction ou dans des directions opposées. Cette relation est déterminée par le signe (positif ou négatif) de la valeur de covariance.

Covariance positive

Une covariance positive entre deux variables indique que ces variables ont tendance à être plus ou moins élevées en même temps. En d'autres termes, une covariance positive entre les variables x et y indique que x est supérieur à la moyenne en même temps que y est supérieur à la moyenne, et vice versa. Lorsqu'ils sont représentés sur un graphique à deux dimensions, les points de données auront tendance à s'incliner vers le haut.

Covariance négative

Lorsque la covariance calculée est inférieure à zéro, cela indique que les deux variables ont une relation inverse. En d'autres termes, une valeur x inférieure à la moyenne tend à être associée à un y supérieur à la moyenne, et vice versa.

Covariance vs Variance

La covariance est liée à la variance,. une mesure statistique de la répartition des points dans un ensemble de données. La variance et la covariance mesurent la manière dont les points de données sont répartis autour d'une moyenne calculée. Cependant, la variance mesure la dispersion des données le long d'un seul axe, tandis que la covariance examine la relation directionnelle entre deux variables.

Dans un contexte financier, la covariance est utilisée pour examiner la performance de différents investissements les uns par rapport aux autres. Une covariance positive indique que deux actifs ont tendance à bien performer en même temps, tandis qu'une covariance négative indique qu'ils ont tendance à évoluer dans des directions opposées. La plupart des investisseurs recherchent des actifs avec une covariance négative afin de diversifier leurs avoirs .

Covariance vs Corrélation

La covariance est également distincte de la corrélation,. une autre mesure statistique souvent utilisée pour mesurer la relation entre deux variables. Alors que la covariance mesure la direction d'une relation entre deux variables, la corrélation mesure la force de cette relation. Ceci est généralement exprimé par un coefficient de corrélation, qui peut aller de -1 à +1.

Bien que la covariance mesure la relation directionnelle entre deux actifs, elle ne montre pas la force de la relation entre les deux actifs ; le coefficient de corrélation est un indicateur plus approprié de cette force.

Une corrélation est considérée comme forte si le coefficient de corrélation a une valeur proche de +1 (corrélation positive) ou -1 (corrélation négative). Un coefficient proche de zéro indique qu'il n'y a qu'une faible relation entre les deux variables.

Exemple de calcul de covariance

Supposons qu'un analyste d'une entreprise dispose d'un ensemble de données sur cinq trimestres indiquant la croissance trimestrielle du produit intérieur brut ( PIB ) en pourcentage (x) et la croissance de la nouvelle gamme de produits d'une entreprise en pourcentage (y). L'ensemble de données peut ressembler à :

Q1 : x = 2, y = 10
Q2 : x = 3, y = 14
Q3 : x = 2,7, y = 12
Q4 : x = 3,2, y = 15
Q5 : x = 4,1, y = 20

La valeur x moyenne est égale à 3 et la valeur y moyenne est égale à 14,2. Pour calculer la covariance, la somme des produits des valeurs x_i moins la valeur x moyenne, multipliée par les valeurs y_i moins les valeurs y moyennes serait divisée par (n-1), comme suit :

Cov(x,y) = ((2 - 3) x (10 - 14,2) + (3 - 3) x (14 - 14,2) + ... (4,1 - 3) x (20 - 14,2)) / 4 = (4,2 + 0 + 0,66 + 0,16 + 6,38) / 4 = 2,85

Après avoir calculé une covariance positive ici, l'analyste peut dire que la croissance de la nouvelle gamme de produits de l'entreprise a une relation positive avec la croissance trimestrielle du PIB.

L'essentiel

La covariance est une mesure statistique importante pour comparer les relations entre plusieurs variables. En investissement, la covariance est utilisée pour identifier les actifs qui peuvent aider à diversifier un portefeuille.

Points forts

La covariance est un outil important dans la théorie moderne du portefeuille utilisé pour déterminer quels titres mettre dans un portefeuille.
Lorsque deux actions ont tendance à évoluer ensemble, elles sont considérées comme ayant une covariance positive ; lorsqu'ils évoluent en sens inverse, la covariance est négative.
Le risque et la volatilité peuvent être réduits dans un portefeuille en associant des actifs qui ont une covariance négative.
La covariance est un outil statistique utilisé pour déterminer la relation entre les mouvements de deux variables aléatoires.
La covariance est différente du coefficient de corrélation, une mesure de la force d'une relation corrélative.

FAQ

Qu'est-ce que la covariance par rapport à la variance ?

La covariance et la variance sont toutes deux utilisées pour mesurer la distribution des points dans un ensemble de données. Cependant, la variance est généralement utilisée dans les ensembles de données avec une seule variable et indique à quel point ces points de données sont regroupés autour de la moyenne. La covariance mesure le sens de la relation entre deux variables. Une covariance positive signifie que les deux variables ont tendance à être élevées ou faibles en même temps. Une covariance négative signifie que lorsqu'une variable est élevée, l'autre a tendance à être faible.

Comment une covariance est-elle calculée ?

Pour un ensemble de n points de données avec deux variables x et y, la covariance est mesurée en prenant la différence entre chaque variable x et y et leur moyens respectifs. Ces différences sont ensuite multipliées ensemble et moyennées sur tous les points de données. En notation mathématique, cela s'exprime par :

Que signifie une covariance de 0 ?

Une covariance de zéro indique qu'il n'y a pas de relation directionnelle claire entre les variables mesurées. En d'autres termes, une valeur x élevée est également susceptible d'être associée à une valeur élevée ou faible pour y.

Quelle est la différence entre covariance et corrélation ?

La covariance mesure la direction d'une relation entre deux variables, tandis que la corrélation mesure la force de cette relation. La corrélation et la covariance sont toutes deux positives lorsque les variables évoluent dans le même sens et négatives lorsqu'elles évoluent dans des directions opposées. Cependant, un coefficient de corrélation doit toujours être compris entre -1 et +1, les valeurs extrêmes indiquant une relation forte.