Kovarianz

Was ist Kovarianz?

Die Kovarianz misst die Richtungsbeziehung zwischen den Renditen zweier Vermögenswerte. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass sich die Vermögensrenditen zusammen bewegen, während eine negative Kovarianz bedeutet, dass sie sich umgekehrt bewegen.

Kovarianz wird berechnet, indem Überraschungen bei der Rendite ( Standardabweichungen von der erwarteten Rendite) analysiert oder die Korrelation zwischen den beiden Zufallsvariablen mit der Standardabweichung jeder Variablen multipliziert wird.

Kovarianz verstehen

Die Kovarianz wertet aus, wie sich die Mittelwerte zweier Zufallsvariablen zusammen bewegen. Wenn die Rendite von Aktie A höher steigt, wenn die Rendite von Aktie B höher steigt, und die gleiche Beziehung gefunden wird, wenn die Rendite jeder Aktie sinkt, dann hat man von diesen Aktien eine positive Kovarianz. Im Finanzbereich werden Kovarianzen berechnet, um die Wertpapierbestände zu diversifizieren .

Formel für Kovarianz

Wenn ein Analyst über einen Datensatz, ein Paar von x- und y-Werten, verfügt, kann die Kovarianz unter Verwendung von fünf Variablen berechnet werden, die aus den zu analysierenden Daten gezogen werden.

Wo:

• x_i = ein gegebener x-Wert im Datensatz

• x_m = der Mittelwert oder Durchschnitt der x-Werte

• y_i = der y-Wert im Datensatz, der x_i entspricht

• y_m = der Mittelwert oder Durchschnitt der y-Werte

Besondere Überlegungen

Kovarianzen haben bedeutende Anwendungen im Finanzwesen und in der modernen Portfoliotheorie. Beispielsweise wird im Capital Asset Pricing Model ( CAPM ), das zur Berechnung der erwarteten Rendite eines Vermögenswerts verwendet wird, die Kovarianz zwischen einem Wertpapier und dem Markt in der Formel für eine der Schlüsselvariablen des Modells, Beta , verwendet. Im CAPM misst Beta die Volatilität oder das systematische Risiko eines Wertpapiers im Vergleich zum Gesamtmarkt; Es ist ein praktisches Maß, das sich auf die Kovarianz stützt, um das Risiko eines Anlegers für ein bestimmtes Wertpapier zu messen.

In der Zwischenzeit verwendet die Portfoliotheorie Kovarianzen, um das Gesamtrisiko eines Portfolios statistisch zu reduzieren, indem sie durch Kovarianz-informierte Diversifikation vor Volatilität schützt.

Der Besitz von finanziellen Vermögenswerten mit Renditen, die ähnliche Kovarianzen aufweisen, bietet nicht viel Diversifizierung; Daher würde ein diversifiziertes Portfolio wahrscheinlich eine Mischung aus Finanzanlagen mit unterschiedlichen Kovarianzen enthalten.

Arten von Kovarianz

Die Kovarianzgleichung wird verwendet, um die Richtung der Beziehung zwischen zwei Variablen zu bestimmen – mit anderen Worten, ob sie dazu neigen, sich in die gleiche oder entgegengesetzte Richtung zu bewegen. Diese Beziehung wird durch das Vorzeichen (positiv oder negativ) des Kovarianzwerts bestimmt.

Positive Kovarianz

Eine positive Kovarianz zwischen zwei Variablen zeigt an, dass diese Variablen tendenziell gleichzeitig höher oder niedriger sind. Mit anderen Worten, eine positive Kovarianz zwischen den Variablen x und y zeigt an, dass x über dem Durchschnitt liegt, während gleichzeitig y über dem Durchschnitt liegt und umgekehrt. Bei der Darstellung in einem zweidimensionalen Diagramm neigen die Datenpunkte dazu, nach oben zu neigen.

Negative Kovarianz

Wenn die berechnete Kovarianz kleiner als Null ist, weist dies darauf hin, dass die beiden Variablen eine umgekehrte Beziehung haben. Mit anderen Worten, ein x-Wert, der unter dem Durchschnitt liegt, wird tendenziell mit einem y-Wert gepaart, der über dem Durchschnitt liegt, und umgekehrt.

Kovarianz vs. Varianz

Kovarianz ist verwandt mit Varianz,. einem statistischen Maß für die Streuung von Punkten in einem Datensatz. Sowohl Varianz als auch Kovarianz messen, wie Datenpunkte um einen berechneten Mittelwert herum verteilt sind. Die Varianz misst jedoch die Streuung von Daten entlang einer einzelnen Achse, während die Kovarianz die Richtungsbeziehung zwischen zwei Variablen untersucht.

Im finanziellen Kontext wird Kovarianz verwendet, um zu untersuchen, wie sich verschiedene Anlagen im Verhältnis zueinander entwickeln. Eine positive Kovarianz zeigt an, dass sich zwei Vermögenswerte tendenziell gleichzeitig gut entwickeln, während eine negative Kovarianz anzeigt, dass sie sich tendenziell in entgegengesetzte Richtungen entwickeln. Die meisten Anleger suchen nach Vermögenswerten mit negativer Kovarianz, um ihre Bestände zu diversifizieren .

Kovarianz vs. Korrelation

Kovarianz unterscheidet sich auch von Korrelation,. einer anderen statistischen Metrik, die häufig verwendet wird, um die Beziehung zwischen zwei Variablen zu messen. Während die Kovarianz die Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen misst, misst die Korrelation die Stärke dieser Beziehung. Dies wird normalerweise durch einen Korrelationskoeffizienten ausgedrückt, der von -1 bis +1 reichen kann.

Während die Kovarianz die gerichtete Beziehung zwischen zwei Vermögenswerten misst, zeigt sie nicht die Stärke der Beziehung zwischen den beiden Vermögenswerten; der Korrelationskoeffizient ist ein geeigneterer Indikator für diese Stärke.

Eine Korrelation wird als stark angesehen, wenn der Korrelationskoeffizient einen Wert hat, der nahe bei +1 (positive Korrelation) oder -1 (negative Korrelation) liegt. Ein Koeffizient nahe Null zeigt an, dass zwischen den beiden Variablen nur ein schwacher Zusammenhang besteht.

Beispiel einer Kovarianzberechnung

Angenommen, ein Analyst in einem Unternehmen verfügt über einen Fünf-Quartals-Datensatz, der das vierteljährliche Wachstum des Bruttoinlandsprodukts ( BIP ) in Prozent (x) und das Wachstum der neuen Produktlinie eines Unternehmens in Prozent (y) zeigt. Der Datensatz kann wie folgt aussehen:

• Q1: x = 2, y = 10

• Q2: x = 3, y = 14

• Q3: x = 2,7, y = 12

• Q4: x = 3,2, y = 15

• F5: x = 4,1, y = 20

Der durchschnittliche x-Wert beträgt 3 und der durchschnittliche y-Wert beträgt 14,2. Um die Kovarianz zu berechnen, würde die Summe der Produkte der x_i-Werte minus dem durchschnittlichen x-Wert, multipliziert mit den y_i-Werten minus den durchschnittlichen y-Werten, wie folgt durch (n-1) dividiert werden:

Cov(x,y) = ((2 - 3) x (10 - 14,2) + (3 - 3) x (14 - 14,2) + ... (4,1 - 3) x (20 - 14,2)) / 4 = (4,2 + 0 + 0,66 + 0,16 + 6,38) / 4 = 2,85

Nachdem hier eine positive Kovarianz berechnet wurde, kann der Analyst sagen, dass das Wachstum der neuen Produktlinie des Unternehmens in positiver Beziehung zum vierteljährlichen BIP-Wachstum steht.

Das Endergebnis

Kovarianz ist eine wichtige statistische Metrik zum Vergleichen der Beziehungen zwischen mehreren Variablen. Beim Investieren wird Kovarianz verwendet, um Vermögenswerte zu identifizieren, die zur Diversifizierung eines Portfolios beitragen können.

Höhepunkte

• Kovarianz ist ein wichtiges Werkzeug in der modernen Portfoliotheorie, das verwendet wird, um festzustellen, welche Wertpapiere in ein Portfolio aufgenommen werden sollen.

• Wenn sich zwei Aktien tendenziell zusammen bewegen, wird davon ausgegangen, dass sie eine positive Kovarianz aufweisen; wenn sie sich umgekehrt bewegen, ist die Kovarianz negativ.

• Risiko und Volatilität können in einem Portfolio reduziert werden, indem Vermögenswerte mit negativer Kovarianz gepaart werden.

• Kovarianz ist ein statistisches Werkzeug, das verwendet wird, um die Beziehung zwischen den Bewegungen zweier Zufallsvariablen zu bestimmen.

• Die Kovarianz unterscheidet sich vom Korrelationskoeffizienten, einem Maß für die Stärke einer korrelativen Beziehung.

FAQ

Was ist Kovarianz vs. Varianz?

Kovarianz und Varianz werden beide verwendet, um die Verteilung von Punkten in einem Datensatz zu messen. Die Varianz wird jedoch typischerweise in Datensätzen mit nur einer Variablen verwendet und gibt an, wie eng diese Datenpunkte um den Durchschnitt gruppiert sind. Die Kovarianz misst die Richtung der Beziehung zwischen zwei Variablen. Eine positive Kovarianz bedeutet, dass beide Variablen tendenziell gleichzeitig hoch oder niedrig sind. Eine negative Kovarianz bedeutet, dass wenn eine Variable hoch ist, die andere tendenziell niedrig ist.

Wie wird eine Kovarianz berechnet?

Für einen Satz von n Datenpunkten mit zwei Variablen x und y wird die Kovarianz gemessen, indem die Differenz zwischen jeder x- und y-Variablen und ihren Variablen genommen wird jeweiligen Mittel. Diese Differenzen werden dann miteinander multipliziert und über alle Datenpunkte gemittelt. In mathematischer Notation wird dies ausgedrückt als:

Was bedeutet eine Kovarianz von 0?

Eine Kovarianz von Null zeigt an, dass es keine klare Richtungsbeziehung zwischen den gemessenen Variablen gibt. Mit anderen Worten, ein hoher x-Wert wird mit gleicher Wahrscheinlichkeit mit einem hohen oder niedrigen Wert für y gepaart.

Was ist der Unterschied zwischen Kovarianz und Korrelation?

Die Kovarianz misst die Richtung einer Beziehung zwischen zwei Variablen, während die Korrelation die Stärke dieser Beziehung misst. Sowohl Korrelation als auch Kovarianz sind positiv, wenn sich die Variablen in die gleiche Richtung bewegen, und negativ, wenn sie sich in entgegengesetzte Richtungen bewegen. Ein Korrelationskoeffizient muss jedoch immer zwischen -1 und +1 liegen, wobei die Extremwerte auf eine starke Beziehung hindeuten.