Vasicek 금리 모델
Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ด๋ ๋ฌด์์ ๋๊น?
Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ด๋ผ๋ ์ฉ์ด๋ ๊ธ๋ฆฌ์ ์์ง์๊ณผ ์งํ๋ฅผ ๋ชจ๋ธ๋งํ๋ ์ํ์ ๋ฐฉ๋ฒ์ ๋ํ ๋ ๋๋ค. ์์ฅ ์ํ์ ๊ธฐ๋ฐ์ผ๋ก ํ๋ ๋จ์ผ ์์ธ ๋จ๊ธฐ ๋ชจ๋ธ์ ๋๋ค. Vasicek ์ด์์จ ๋ชจ๋ธ์ ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก ๊ฒฝ์ ํ์์ ์ด์์จ์ด ๋ฏธ๋์ ์ด๋๋ก ์์ง์ผ์ง๋ฅผ ๊ฒฐ์ ํ๋ ๋ฐ ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๋ค. ๊ฐ๋จํ ๋งํด์, ์ด์์จ์ด ์ฃผ์ด์ง ๊ธฐ๊ฐ ๋์ ์ด๋๋ก ์์ง์ผ์ง ์ถ์ ํ๊ณ ๋ถ์๊ฐ์ ํฌ์์๊ฐ ๋ฏธ๋์ ๊ฒฝ์ ์ ํฌ์๊ฐ ์ด๋ป๊ฒ ๋ ๊ฒ์ธ์ง ํ์ ํ๋ ๋ฐ ๋์์ด ๋ ์ ์์ต๋๋ค.
Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ ์๋ ์๋ฆฌ
๊ธ๋ฆฌ๊ฐ ์ด๋ป๊ฒ ๋ณํ ์ง ์์ธกํ๋ ๊ฒ์ ์ด๋ ค์ธ ์ ์์ต๋๋ค. ํฌ์์์ ๋ถ์๊ฐ๋ ์์ ์ ํฌ์์ ๊ฒฝ์ ๊ฐ ์ด๋ป๊ฒ ๋ณํํ ๊ฒ์ธ์ง์ ๋ํ ์ ๋ณด์ ์ ๊ฐํ ๊ฒฐ์ ์ ๋ด๋ฆฌ๊ธฐ ์ํด ์๊ฐ์ด ์ง๋จ์ ๋ฐ๋ผ ์ด๋ป๊ฒ ๋ณํ ์ง ํ์ ํ๋ ๋ฐ ๋์์ด ๋๋ ๋ง์ ๋๊ตฌ๋ฅผ ์ฌ์ฉํ ์ ์์ต๋๋ค . Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ ๊ธ๋ฆฌ๊ฐ ์ด๋๋ก ๊ฐ์ง ์ถ์ ํ๋ ๋ฐ ์ฌ์ฉํ ์ ์๋ ๋ชจ๋ธ ์ค ํ๋์ ๋๋ค.
์์์ ์ธ๊ธํ ๋ฐ์ ๊ฐ์ด ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก Vasicek ๋ชจ๋ธ์ด๋ผ๊ณ ํ๋ Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ ๊ธ์ต ๊ฒฝ์ ํ์์ ๋ฏธ๋ ๊ธ๋ฆฌ ๋ณํ์ ์ ์ฌ์ ๊ฒฝ๋ก๋ฅผ ์ถ์ ํ๋ ๋ฐ ์ฌ์ฉ๋๋ ์ํ์ ๋ชจ๋ธ์ ๋๋ค. ๋ฐ๋ผ์ ํฌ์ ๊ฒฐ์ ์ ๋ด๋ฆฌ๋ ๋ฐ ๋์์ด ๋๋ ๋ชจ๋ธ๋ง์ ํ ํํ์ธ ํ๋ฅ ์ ๋ชจ๋ธ ๋ก ๊ฐ์ฃผ๋ฉ๋๋ค.
์์ฅ๋ฆฌ์คํฌ,. ์๊ฐ, ๊ท ํ๊ฐ์น ๋ก ๊ตฌ์ฑ๋ ์์๋ก์ ์ด์์จ์ ์์ง์์ ์ค๋ช ํ๋ค . ๋น์จ์ ์๊ฐ์ด ์ง๋จ์ ๋ฐ๋ผ ์ด๋ฌํ ์์ธ ์ ํ๊ท ์ผ๋ก ๋๋์๊ฐ๋ ๊ฒฝํฅ์ด ์์ต๋๋ค. ์ด ๋ชจ๋ธ์ ํ์ฌ ์์ฅ ๋ณ๋์ฑ,. ์ฅ๊ธฐ ํ๊ท ์ด์์จ ๊ฐ ๋ฐ ์ฃผ์ด์ง ์์ฅ ์ํ ์์ ๋ฅผ ๊ณ ๋ คํ์ฌ ์ฃผ์ด์ง ๊ธฐ๊ฐ์ ๋์์ ์ด์์จ์ด ๋๋๋ ์ง์ ์ ๋ณด์ฌ์ค๋๋ค .
Vasicek ์ด์์จ ๋ชจ๋ธ์ ๋ค์ ๋ฐฉ์ ์์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ์๊ฐ ์ด์์จ์ ํ๊ฐํฉ๋๋ค.
< ์คํฌ ํด๋์ค ="katex-html" aria-hidden="true"><span ํด๋์ค="base"><span class="strut" ์คํ์ผ="๋์ด:15.007112em;์์ง ์ ๋ ฌ:-7.253556000000001em;">< /span ><์คํฌ ํด๋์ค="vlist" ์คํ์ผ="๋์ด:7.753556em;"><์คํฌ ์คํ์ผ="์๋จ:-9.753556em;"><์คํฌ ํด๋์ค="pstrut" ์คํ์ผ="๋์ด:2.843556em;" >< /span>< /span><โ<span class="vlist" ์คํ์ผ="๋์ด:7.753556em;"> < /span>dr <span class="vlist" ์คํ์ผ="๋์ด:0.2805559999999999em;"><์คํฌ style="top:-2.5500000000000003em;margin-left:-0.02778em;margin-right:0.05em;"><์คํฌ ํด๋์ค ="sizing reset-size6 size3 mtight"><โ< / ์คํฌ>< / ์คํฌ >=a(bโr<span ์คํ์ผ= "์๋จ:-3.113em;margin-right:0.05em;"> )dt</spa n>+ฯd W< ์คํฌ class="vlist" style="height:0.15em;"> ์ฌ๊ธฐ์: W</ ์คํฌ>=<์คํฌ ํด๋์ค ="mord">์์์ ์์ฅ ์ํ(๋น๋ ํ๋ก์ธ์ค ) =๊ธฐ๊ฐ<span class="pstrut" ์คํ์ผ ="๋์ด:3em;">a(bโ<span class="mord ์ํ ์ผ๋ฐ" ์คํ์ผ= "margin-right:0.02778em;">r<span class="vlist" ์คํ์ผ="๋์ด:0.843556em;"><span class="pstrut" ์คํ์ผ="๋์ด:2.7em;">t )=์์ ๊ธ๋ฆฌ ๋ณ๋<์คํฌ ํด๋์ค ="mord">์๊ฐ t(๋๋ฆฌํํธ ๊ณ์ )< span class="mord">=ํ๊ท ์ผ๋ก์ ํ๊ท ์๋ </ ์คํฌ> b=</ span> ์ฅ๊ธฐ ํ๊ท ์์ค< /span ><span ํด๋์ค =" mord">ฯ<span class="mspace" ์คํ์ผ =" ์ฌ๋ฐฑ-์ค๋ฅธ์ชฝ:0.2777777777777778em;">=< span class="mord text">์๊ฐ ๋ณ๋์ฑ </ span><โ<span ํด๋์ค ="vlist-r"></ ์คํฌ >
์ด ๋ชจ๋ธ์ ์๊ฐ ์ด์์จ์ด ํ๋ฅ ์ ๋ฏธ๋ถ ๋ฐฉ์ ์์ ๋ฐ๋ฅด๋๋ก ์ง์ ํฉ๋๋ค. ์ฌ๊ธฐ์ d๋ ๋ค๋ฐ๋ฅด๋ ๋ณ์์ ๋ํจ์๋ฅผ ๋ํ๋ ๋๋ค. ์์ฅ ์ถฉ๊ฒฉ์ด ์์ ๋(์ฆ, dWt = 0์ผ ๋) ์ด์์จ์ ์ผ์ ํ๊ฒ ์ ์ง๋ฉ๋๋ค(rt = b). rt < b์ผ ๋ ๋๋ฆฌํํธ ํฉํฐ๋ ์์๊ฐ ๋๋ฉฐ, ์ด๋ ์ด์์จ์ด ํํ ์ ํฅํด ์ฆ๊ฐํ ๊ฒ์์ ๋ํ๋ ๋๋ค.
Vasicek ๋ชจ๋ธ์ ์ด์์จ ์ ๋ฌผ ์ ํ๊ฐ์ ์์ฃผ ์ฌ์ฉ๋๋ฉฐ ๋ค์ํ ๊ฐ์น ํ๊ฐ๊ฐ ์ด๋ ค์ด ์ฑ๊ถ ์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ๊ณ์ฐํ๋ ๋ฐ ์ฌ์ฉ๋ ์๋ ์์ต๋๋ค .
ํน๋ณ ๊ณ ๋ ค ์ฌํญ
์์์ ์ธ๊ธํ๋ฏ์ด Vasicek ๋ชจ๋ธ์ ๋จ์ผ ๋๋ ๋จ์ผ ์์ธ ๋จ๊ธฐ ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ ๋๋ค. ๋จ์ผ ์์ธ ๋ชจํ์ ์ด์์จ์ ๊ณ ๋ คํ์ฌ ์์ฅ ์์ต๋ฅ ์ ์ํฅ์ ๋ฏธ์น๋ ํ ๊ฐ์ง ์์ธ๋ง ์ธ์ํ๋ ๋ชจํ์ ๋๋ค. ์ด ๊ฒฝ์ฐ ์์ฅ ์ํ ์ด ๊ธ๋ฆฌ ๋ณ๋์ ์ํฅ์ ๋ฏธ์นฉ๋๋ค.
์ด ๋ชจ๋ธ์ ๋ํ ๋ง์ด๋์ค ๊ธ๋ฆฌ ๋ฅผ ์ค๋ช ํฉ๋๋ค. 0 ์ดํ๋ก ๋จ์ด์ง๋ ๊ธ๋ฆฌ๋ ๊ฒฝ์ ๊ฐ ๋ถํ์คํ ์๊ธฐ์ ์ค์ ์ํ ๋น๊ตญ์ ๋์์ด ๋ ์ ์์ต๋๋ค. ๋ง์ด๋์ค ๊ธ๋ฆฌ๋ ํํ์ง ์์ง๋ง ์ค์ ์ํ์ด ๊ฒฝ์ ๋ฅผ ๊ด๋ฆฌํ๋ ๋ฐ ๋์์ด ๋๋ ๊ฒ์ผ๋ก ์ ์ฆ๋์์ต๋๋ค. ์๋ฅผ ๋ค์ด, ๋ด๋งํฌ์ ์ค์ ์ํ์ 2012๋ ์ ๊ธ๋ฆฌ๋ฅผ 0 ์ดํ๋ก ๋ฎ์ท์ต๋๋ค. 2๋ ํ ์ ๋ฝ ์ํ๋ค์ด ๋ค๋ฅผ ์ด์๊ณ ์ผ๋ณธ ์ํ (BOJ)์ด 2016๋ ์ ๊ธ๋ฆฌ๋ฅผ ๋ง์ด๋์ค ์์ญ์ผ๋ก ๋ชฐ์๋ฃ์์ต๋๋ค.
Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ vs. ๊ธฐํ ๋ชจ๋ธ
Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ ์กด์ฌํ๋ ์ ์ผํ ์์ธ ๋ชจ๋ธ์ด ์๋๋๋ค. ๋ค์์ ๋ค๋ฅธ ์ผ๋ฐ์ ์ธ ๋ชจ๋ธ ์ค ์ผ๋ถ์ ๋๋ค.
Merton์ ๋ชจ๋ธ: ์ด ๋ชจ๋ธ์ ํ์ฌ์ ์ ์ฉ ์ํ ์์ค์ ๊ฒฐ์ ํ๋ ๋ฐ ๋์์ด ๋ฉ๋๋ค. ๋ถ์๊ฐ์ ํฌ์์๋ Merton ๋ชจ๋ธ ์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ํ์ฌ๊ฐ ์ฌ์ ์ ์๋ฌด๋ฅผ ์ดํํ ์ ์๋ ์์น์ ์๋์ง ํ์ธํ ์ ์์ต๋๋ค.
Cox-Ingersoll-Ross ๋ชจ๋ธ: ์ด 1์์ธ ๋ชจ๋ธ์ ๋ํ ๊ธ๋ฆฌ๊ฐ ๋ฏธ๋์ ์ด๋ป๊ฒ ์์ง์ผ ๊ฒ์ผ๋ก ์์๋๋์ง ์ดํด๋ด ๋๋ค. Cox-Ingersoll-Ross ๋ชจ๋ธ ์ ํ์ฌ ๋ณ๋์ฑ, ํ๊ท ๋น์จ ๋ฐ ์คํ๋ ๋ ๋ฅผ ํตํด ์ด๋ฅผ ์ํ ํฉ๋๋ค.
Hull-While ๋ชจ๋ธ: Hull-While ๋ชจ๋ธ ์ ๋จ๊ธฐ ๊ธ๋ฆฌ๊ฐ 0์ ๊ฐ๊น์ธ ๋ ๋ณ๋์ฑ์ด ๋ฎ์ ๊ฒ์ด๋ผ๊ณ ๊ฐ์ ํฉ๋๋ค. ์ด๊ฒ์ ๊ธ๋ฆฌ ํ์ ์ํ ์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ์ฑ ์ ํ๋ ๋ฐ ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๋ค.
##ํ์ด๋ผ์ดํธ
์ด ๋ชจ๋ธ์ ๋ง์ด๋์ค ๊ธ๋ฆฌ๋ ๊ณ ๋ คํฉ๋๋ค.
์ด ๋ชจ๋ธ์ ๊ธ๋ฆฌ ์ ๋ฌผ์ ํ๊ฐ ๋ฐ ๋ค์ํ ๊ฐ์น ํ๊ฐ๊ฐ ์ด๋ ค์ด ์ฑ๊ถ์ ๊ฐ๊ฒฉ์ ๊ณ์ฐํ๋ ๋ฐ ์์ฃผ ์ฌ์ฉ๋ฉ๋๋ค.
Vasicek ๊ธ๋ฆฌ ๋ชจ๋ธ์ ์ฃผ์ด์ง ๊ธฐ๊ฐ์ด ๋๋ ๋ ๊ธ๋ฆฌ๊ฐ ๋๋๋ ๊ณณ์ ์์ธกํ๋ ๋จ์ผ ์์ธ ๋จ๊ธฐ ๋ชจ๋ธ์ ๋๋ค.
์์ฅ๋ฆฌ์คํฌ, ์๊ฐ, ๊ท ํ๊ฐ์น๋ก ๊ตฌ์ฑ๋ ์์ธ์ผ๋ก ๊ธ๋ฆฌ์ ๋ณํ๋ฅผ ๊ฐ๋ต์ ์ผ๋ก ์ค๋ช ํจ.
Vasicek ๋ชจ๋ธ์ ํน์ ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ์ฌ ์๊ฐ์ด์์จ์ ํ๊ฐํฉ๋๋ค.