Портфельная дисперсия

Что такое дисперсия портфеля?

Дисперсия портфеля — это мера риска, отражающая то, как совокупная фактическая доходность набора ценных бумаг, составляющих портфель, колеблется с течением времени. Эта статистика отклонения портфеля рассчитывается с использованием стандартных отклонений каждой ценной бумаги в портфеле, а также корреляций каждой пары ценных бумаг в портфеле.

Понимание дисперсии портфеля

Дисперсия портфеля рассматривает коэффициенты ковариации или корреляции для ценных бумаг в портфеле. Как правило, более низкая корреляция между ценными бумагами в портфеле приводит к более низкой дисперсии портфеля.

Дисперсия портфеля рассчитывается путем умножения квадрата веса каждой ценной бумаги на соответствующую ей дисперсию и добавления удвоенного средневзвешенного веса, умноженного на ковариацию всех отдельных пар ценных бумаг.

Современная теория портфеля утверждает, что дисперсию портфеля можно уменьшить, выбрав классы активов с низкой или отрицательной корреляцией,. такие как акции и облигации, где дисперсия (или стандартное отклонение) портфеля представляет собой ось абсцисс эффективной границы.

Формула и расчет дисперсии портфеля

Наиболее важным качеством дисперсии портфеля является то, что ее значение является взвешенной комбинацией индивидуальных дисперсий каждого из активов, скорректированных на их ковариации. Это означает, что общая дисперсия портфеля ниже, чем простое средневзвешенное значение дисперсии отдельных акций в портфеле.

Формула дисперсии портфеля в портфеле из двух активов выглядит следующим образом:

• Отклонение портфеля = w₁²σ₁² + w₂²σ₂² + 2w₁w₂Cov_{1, 2}

Где:

• w₁ = вес портфеля первого актива

• w₂ = вес портфеля второго актива

• σ₁= стандартное отклонение первого актива

• σ₂ = стандартное отклонение второго актива

• Cov_1,2 = ковариация двух активов, которая, таким образом, может быть выражена как p_(1,2)σ1σ₂, где p_{( 1,2)} — коэффициент корреляции между двумя активами

Дисперсия портфеля эквивалентна квадрату стандартного отклонения портфеля.

По мере роста количества активов в портфеле члены формулы для дисперсии увеличиваются в геометрической прогрессии. Например, портфель из трех активов имеет шесть условий в расчете дисперсии, а портфель из пяти активов — 15.

Диверсификация портфеля и современная теория портфеля

Современная портфельная теория (MPT) представляет собой основу для построения инвестиционного портфеля. В основе MPT лежит идея о том, что рациональные инвесторы хотят максимизировать прибыль, одновременно сводя к минимуму риск, который иногда измеряется с помощью волатильности. Инвесторы ищут то, что называется эффективной границей, или самым низким уровнем риска и волатильности, при котором может быть достигнута целевая доходность.

Риск в портфелях MPT снижается за счет инвестирования в некоррелированные активы. Активы, которые могут быть рискованными сами по себе, на самом деле могут снизить общий риск портфеля, вводя инвестиции, которые будут расти, когда другие инвестиции падают. Эта уменьшенная корреляция может уменьшить дисперсию теоретического портфеля.

В этом смысле доходность отдельных инвестиций менее важна, чем их общий вклад в портфель с точки зрения риска, доходности и диверсификации.

Уровень риска в портфеле часто измеряется с помощью стандартного отклонения, которое рассчитывается как квадратный корень из дисперсии. Если точки данных находятся далеко от среднего значения, дисперсия высока, и общий уровень риска в портфеле также высок. Стандартное отклонение является ключевой мерой риска, используемой портфельными менеджерами, финансовыми консультантами и институциональными инвесторами. Управляющие активами обычно включают стандартное отклонение в свои отчеты об эффективности.

Пример отклонения портфеля

Например, предположим, что имеется портфель, состоящий из двух акций. Акция А стоит 50 000 долларов и имеет стандартное отклонение 20%. Акция B стоит 100 000 долларов и имеет стандартное отклонение 10%. Корреляция между двумя акциями составляет 0,85. Учитывая это, вес портфеля Акции А составляет 33,3% и 66,7% Акции Б. Подставляя эту информацию в формулу, вычисляется дисперсия:

• Дисперсия = (33,3%^2 х 20%^2) + (66,7%^2 х 10%^2) + (2 х 33,3% х 20% х 66,7% х 10% х 0,85) = 1,64 %

Дисперсия не является особенно простой статистикой для интерпретации сама по себе, поэтому большинство аналитиков вычисляют стандартное отклонение, которое представляет собой просто квадратный корень из дисперсии. В этом примере квадратный корень из 1,64% равен 12,81%.

Особенности

• Дисперсия портфеля является мерой общего риска портфеля и представляет собой квадрат стандартного отклонения портфеля.

• Чем ниже корреляция между ценными бумагами в портфеле, тем ниже дисперсия портфеля.

• Дисперсия портфеля (и стандартное отклонение) определяют ось риска эффективной границы в современной теории портфеля (MPT).

• Дисперсия портфеля учитывает веса и дисперсии каждого актива в портфеле, а также их ковариации.