Stochastische Volatilität

Was ist stochastische Volatilität?

Stochastische Volatilität (SV) bezieht sich auf die Tatsache, dass die Volatilität von Vermögenspreisen variiert und nicht konstant ist, wie dies im Optionspreismodell von Black Scholes angenommen wird. Die stochastische Volatilitätsmodellierung versucht, dieses Problem mit Black Scholes zu korrigieren, indem sie Schwankungen der Volatilität im Laufe der Zeit zulässt.

Stochastische Volatilität verstehen

Das Wort "stochastisch" bedeutet, dass eine Variable zufällig bestimmt wird und nicht genau vorhergesagt werden kann. Stattdessen kann jedoch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ermittelt werden. Im Kontext der Finanzmodellierung iteriert die stochastische Modellierung mit aufeinanderfolgenden Werten einer Zufallsvariablen,. die nicht unabhängig voneinander sind. Was nicht unabhängig bedeutet, ist, dass sich der Wert der Variablen zwar zufällig ändert, ihr Startpunkt jedoch von ihrem vorherigen Wert abhängt, der daher von ihrem vorherigen Wert abhängig war, und so weiter; dies beschreibt einen sogenannten Random Walk.

Beispiele für stochastische Modelle sind das Heston-Modell und das SABR-Modell für Preisoptionen sowie das GARCH -Modell, das zur Analyse von Zeitreihendaten verwendet wird, bei denen angenommen wird, dass der Varianzfehler seriell autokorreliert ist.

Die Volatilität eines Vermögenswerts ist eine Schlüsselkomponente für die Preisgestaltung von Optionen. Stochastische Volatilitätsmodelle wurden aus der Notwendigkeit entwickelt, das Black-Scholes-Modell für die Preisgestaltung von Optionen zu modifizieren, das die Tatsache nicht effektiv berücksichtigte, dass sich die Volatilität des Preises des zugrunde liegenden Wertpapiers ändern kann. Das Black-Scholes-Modell geht stattdessen vereinfachend davon aus, dass die Volatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers konstant war. Stochastische Volatilitätsmodelle korrigieren dies, indem sie die Preisvolatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers als Zufallsvariable schwanken lassen. Indem sie Preisschwankungen zuließen, verbesserten die stochastischen Volatilitätsmodelle die Genauigkeit von Berechnungen und Prognosen.

Das stochastische Volatilitätsmodell von Heston

Das Heston-Modell ist ein stochastisches Volatilitätsmodell, das 1993 vom Finanzwissenschaftler Steven Heston entwickelt wurde. Das Modell geht von der Annahme aus, dass die Volatilität mehr oder weniger zufällig ist, und weist die folgenden Merkmale auf, die es von anderen stochastischen Volatilitätsmodellen unterscheiden:

• Es berücksichtigt die Korrelation zwischen dem Preis eines Vermögenswerts und seiner Volatilität.

• Volatilität wird als Rückkehr zum Mittelwert verstanden.

• Es gibt eine Lösung in geschlossener Form, was bedeutet, dass die Antwort aus einem akzeptierten Satz mathematischer Operationen abgeleitet wird.

• Es ist nicht erforderlich, dass der Aktienkurs einer lognormalen Wahrscheinlichkeitsverteilung folgt.

Das Heston-Modell enthält auch ein Volatilitäts-Smile,. das eine stärkere Gewichtung der impliziten Volatilität für Abwärtsbewegungen im Vergleich zu Aufwärtsbewegungen ermöglicht. Der Name „Smile“ ist auf die konkave Form dieser Volatilitätsdifferenzen bei der grafischen Darstellung zurückzuführen.

Höhepunkte

• Stochastische Modelle, die die Volatilität zufällig variieren lassen, wie das Heston-Modell, versuchen, diesen blinden Fleck zu korrigieren.

• Viele fundamentale Preismodelle für Optionen wie Black Scholes gehen von konstanter Volatilität aus, was zu Ineffizienzen und Fehlern bei der Preisbildung führt.

• Stochastische Volatilität ist ein Konzept, das berücksichtigt, dass die Volatilität der Vermögenspreise im Laufe der Zeit variiert und nicht konstant ist.